Definicja 1. Niech $V$ $-$ przestrzeń liniowa nad $\mathbb K$. Przestrzeń liniową $V^*:=L(V, \mathbb K)$ nazywamy przestrzenią sprzężoną z $V$ lub przestrzenią dualną (do) przestrzeni $V$. Elementy przestrzeni $V^*$ bywają nazywane funkcjonałami liniowymi na przestrzeni $V$, albo jej kowektorami.
Załóżmy, że $\dim V =n <\infty$. Niech $v^1,\ldots, v^n$ będzie bazą przestrzeni $V$. Ustalmy $i\in \{1,\ldots, n\}$. W zgodzie z twierdzeniem 6 z wykładu 5 istnieje jedyny element $v^*_i\in V^*$, że
$v^*_i(v^j)=0$, dla wszelkich $j\neq i$.
$v^*_i(v^i)=1$.
Zauważmy, że
$$ \begin{eqnarray} v^*_i(x) &=& v^*_i(x_1v^1+\cdots +x_iv^i+\cdots + x_nv^n)\\ &=& x_1v^*_i(v^1)+\cdots+x_iv^*_i(v_i)+\cdots +x_nv^*_i(v^n)= x_i. \end{eqnarray} \tag{wsp} $$To znaczy, funkcjonał $v^*_i$ przyporządkowuje każdemu $x\in V$ $i$-tą współrzędną rozwinięcia wektora $x$ względem bazy uporządkowanej $\mathbb V=(v^1,\ldots, v^n)$.
Twierdzenie 1. Jeśli $v^1,\ldots, v^n$ jest bazą przestrzeni $V$, to układ $v^*_1,\ldots, v^*_n$ jest bazą przestrzeni sprzężonej $V^*$.
Dowód. Niech $f\in V^*$. Wtedy na podstawie liniowości $f$, dla wszelkiego $x\in V$ mamy
$$ \begin{eqnarray} f(x) & = & f(x_1v^1+\cdots + x_nv^n)\\ &=& x_1f(v^1)+\cdots + x_nf(v^n)\\ & = & f(v^1)v^*_1(x)+\cdots + f(v^n)v^*_n(x)\\ &=& (f(v^1)v^*_1+\cdots + f(v^n)v^*_n)(x) \end{eqnarray} $$Stąd $f= f(v^1)v^*_1+\cdots + f(v^n)v^*_n$, co oznacza, że $V^*=\operatorname{lin}\{v^*_1,\ldots, v^*_n\}$. Ponadto, jeśli
$$ \mathbf 0= \alpha_1v^*_1+\cdots+\alpha_nv^*_n; $$(kombinacja kowektorów przedstawia kowektor zerowy), to dla wszelkiego $i$ mamy
$$ 0= (\alpha_1v^*_1+\cdots+\alpha_iv^*_i+\cdots + \alpha_nv^*_n)(v^i)= \alpha_1v^*_1(v^i)+\cdots+\alpha_iv^*_i(v^i)+\cdots + \alpha_nv^*_n(v^i)= \alpha_i. $$Podsumowując, układ $v^*_1,\ldots, v^*_n$ jest liniowo niezależny oraz rozpina przestrzeń $V^*$, stanowi więc jej bazę. $\square$
Definicja 2. Niech $v^1, \ldots, v^n$ - baza przestrzeni $V$. Układ $v^*_1, \ldots, v^*_n$ określony w punktach 1$-$2 nazywamy bazą dualną stowarzyszoną z $v^1,\ldots, v^n$ lub krótko bazą dualną.
Uwaga 1. Przy okazji wykazaliśmy, że przestrzenie $V$ i $V^*$ są tego samego wymiaru. W szczególności są izomorficzne, jednak nie ma między nimi żadnego izomorfizmu naturalnego. Przez naturalny izomorfizm rozumiemy taki izomorfizm, który nie wymaga odwołania się do jakichś szczególnych baz przestrzeni, których izomorficzność chcemy ustalić.
Przykład 1. Przypomnijmy, że każdemu odwzorowaniu $f\in L(\mathbb K^n, \mathbb K)=(\mathbb K^{n})^*$ odpowiada macierz rozmiaru $A_f=[f(e^1),\ldots, f(e^n)]$ oraz dla wszelkich $x\in \mathbb K^n$,
$$ f(x)=A_fx=[f(e^1), \ldots, f(e^n)]\left[\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] $$W rezultacie przestrzeń $(\mathbb K^n)^*$ możemy utożsamić z przestrzenią wektorów wierszowych $\mathsf{M}_{1\times n}(\mathbb K)$. Bazą dualną stowarzyszoną z $e^1, \ldots e^n$ jest baza standardowa wektorów wierszowych: $e^*_1=[1,0,\ldots,0], \ldots, e^*_n=[0,\ldots,0,1]$
Definicja 3. Przestrzeń $V^{**}=(V^*)^*$ nazywamy drugą dualną do przestrzeni $V$.
Twierdzenie 2. Jeśli $\dim V< \infty$, to przestrzenie $V$ i $V^{**}$ są naturalnie izomorficzne.
Zacznijmy od wykazania dwóch łatwych lematów:
Lemat 3. Niech $T\in L(V, W)$. Wówczas
$T$ jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{ker} T=\{\mathbf 0\}$.
Niech $\dim W<\infty$. Odwzorowanie $T$ jest na wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim \operatorname{im} T=\dim W$.
Dowód. ad. 1:
($\Rightarrow$) Niech $x\in V$ będzie wektorem niezerowym. Skoro $T$ jest różnowartościowe, to $T(x)\neq T(\mathbf 0)=\mathbf 0$. Stąd $\operatorname{ker} T=\mathbf 0$.
($\Leftarrow$) Niech $x, y\in V$. Jeśli $T(x)=T(y)$, to wobec liniowości $T$,
$$ \mathbf 0 = T(x)-T(y)=T(x-y) $$Stąd $x-y\in \operatorname{ker} T$. Jednak $\operatorname{ker} T=\{\mathbf 0\}$, więc $x-y=\mathbf 0$ i dalej $x=y$.
ad. 2:
Implikacja ($\Rightarrow$) nie wymaga dowodu. Implikacja ($\Leftarrow$) wynika natychmiast z wniosku 7 wykład 4.
Lemat 4. Niech $T\in L(V,W)$ i $\dim V=\dim W=n$. Wówczas
$T$ jest na wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowe.
Dowód. Ponieważ $\dim\operatorname{ker} T+\dim\operatorname{im} T=n$, więc na mocy lematu 3:
$$ T\,\, \text{jest} \textit{ na} \Leftrightarrow \dim\operatorname{ker} T= 0 \Leftrightarrow \operatorname{ker} T=\{\mathbf 0\} \Leftrightarrow T\,\, \text{jest różnowartościowe}. $$$\square$
Dowód twierdzenia 2. Każdemu $x\in V$ przyporządkujmy odwzorowanie $\widehat{x}\colon V^*\to \mathbb K$ dane wzorem: $$ \widehat{x}(f)=f(x). $$ Nietrudno zauważyć, że $\widehat{x}\in L(V^*, \mathbb K)=V^{**}$. Sprawdźmy, że przyporządkowanie $x\mapsto \widehat x$ jest liniowe. Dla wszelkich $u,v\in V$, $\alpha, \beta \in \mathbb K$ oraz $f\in V^*$ mamy
$$ \widehat {\alpha u+\beta v}(f)=f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)=\alpha\widehat u(f)+\beta\widehat v (f)=(\alpha\widehat u+\beta\widehat v)(f). $$Stąd oczywiście $\widehat {\alpha u+\beta v}=\alpha\widehat u+\beta\widehat v$.
Wykażemy teraz, że $x\mapsto \widehat x$ jest różnowartościowe. Ustalmy jakąkolwiek bazę $v^1,\ldots v^n$ w $V$. Niech $x\neq \mathbf 0$. Wtedy istnieje wskaźnik $i$, że $i$-ty współczynnik $x_i$ w rozwinięciu $x$ względem $v^1,\ldots v^n$ jest niezerowy. W takim razie
$$ \widehat x(v^*_i)=v^*_i(x)=x_i\neq 0. $$i w konsekwencji $\widehat x\neq \mathbb 0$. To znaczy, że $\operatorname{ker}\,(x\mapsto \widehat x)=\{\mathbf 0\}$. Na mocy lematu 3, odwzorowanie $x\mapsto \widehat x$ jest różnowartościowe. Ponieważ w oparciu o uwagę 1, $V$ i $V^{**}$ są tego samego wymiaru, więc na mocy lematu 4, odwzorowanie $x\mapsto \widehat x$ jest izomorfizmem przestrzeni $V$ i $V^{**}$ $\square$
Niech $T\in L(V,W)$ i niech $f\in W^*=L(W, \mathbb K)$. Złożenie $fT$ jest odwzorowaniem liniowym należącym do $L(V,\mathbb K)=V^*$. Jak wynika z twierdzenia 9 wykład 5, przyporządkowanie $f\mapsto fT$ jest liniowym odwzorowaniem z $W^*$ do $V^*$.
Definicja 4. Określone powyżej odwzorowanie $(f\mapsto fT)\in L(W^*, V^*)$ nazywamy odwzorowaniem sprzężonym z $T$ i oznaczamy $T^*$; to znaczy, $T^*$ jest dane wzorem
$$ T^*(f)=fT. $$Niech $\mathbb V=(v^1, \ldots, v^n)$ będzie bazą uporządkowaną przestrzeni $V$ i $\mathbb W=(w^1, \ldots , w^m)$ $-$ bazą uporządkowaną przestrzeni $W$. Niech bazy $\mathbb V^*=(v^*_1, \ldots, v^*_n)$ oraz $\mathbb W^*=(w^*_1,\ldots, w^*_n)$ będą sprzężone pierwsza z $\mathbb V$, druga z $\mathbb W$. Niech $A_T$ oznacza macierz odwzorowania $T$ względem baz $(\mathbb V, \mathbb W)$. Niech $A_{T^*}$ oznacza macierz odwzorowania $T^*$ względem baz $(\mathbb W^*, \mathbb V^*)$. Naszym celem jest wyznaczenie związku między $A_T$ i $A_{T^*}$.
Na podstawie definicji $A_T$ oraz równości (wsp) łatwo zauważyć, że wyrazy $a_{ij}$ macierzy $A_T$ spełniają związek $a_{ij}= w^*_i(T(v^j))$. Oznaczmy wyrazy macierzy $A_{T^*}$ przez $a^*_{ji}$. Zauważmy, że bazą (przestrzeni $V^{**}$) sprzężoną z $\mathbb V^{*}$ jest baza $\mathbb V^{**}=(\widehat {v^1}, \ldots, \widehat {v^n})$. W takim razie,
$$ a^*_{ji}= \widehat{v^j}(T^*(w^*_i))=\widehat{v^j}(w^*_i T)= w^*_i(T(v^j))=a_{ij}. $$W takim razie macierz $A_{T^*}$ powstaje z macierz $A_T$ przez przepisanie kolejnych kolumn macierz $A_T$ w formie wierszy. O takiej operacji przestawienia już wspominaliśmy.
Definicja 5. Niech $A\in \mathsf{M}_{m\times n}(\mathbb K)$. Macierz $B\in \mathsf{M}_{n\times m}(\mathbb K)$ nazywamy transpozycją macierzy $A$ albo jej macierzą transponowaną jeśli dla wszelkich $i\in\{1,\ldots, m\}, j\in \{1, \ldots, n\}$ zachodzi związek $$ a_{ij}=b_{ji}. $$ Macierz $B$ oznaczana jest symbolem $A^{\sf T}$ bądź też $A^{\sf t}$.
Przykład 2. Jeśli $A=\left[\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 0 &-2& -1\end{array}\right]$, to $A^{\sf T}=\left[\begin{array}{rr} 1& 0\\ 2 & -2\\ 3 &-1\end{array}\right]$.
Nasze ustalenia dotyczące związku między macierzą $A_T$ i macierzą $A_{T^*}$ możemy teraz zapisać tak:
$$ A_{T^*}=A^{\sf T}_T.\tag{trans} $$Na mocy lematu 4 i twierdzenia o rzędzie macierzy (twierdzenie 1 wykład 6) mamy:
$$ \dim \operatorname{im} T^*= \operatorname{rank} A_{T^*}=\operatorname{rank} A^{\sf T}_T=\operatorname{rank} A_T=\dim\operatorname{im} T. $$Udowodniliśmy tym samym następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5. Niech $V$ i $W$ będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem $\mathbb K$. Niech $T$ należy do $L(V,W)$ zachodzi wzór $$ \dim \operatorname{im} T^*= \dim\operatorname{im} T. $$
Oczywiście, twierdzenie 5 jest twierdzeniem o rzędzie macierzy zapisanym w języku odwzorowań liniowych.